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多普勒效应波长方程的推导

作者:Ron Kurtus

多普勒效应方程的推导最简单的方法是从波长方程的推导开始的。然后是频率和速度方程。

请注意在求导之前,你应该先建立方向和速度的约定。(见多普勒效应方程的惯例以获取更多信息。)

所采用的方法是,首先考虑波随源运动而传播的观测距离,推导出运动源与静止观测器的方程。

对于一个移动的观测者和静止的源,你考虑频率的速度差波前和移动的观测者,然后转换为波长。结合这两种情况的方程,你可以推导出一般的多普勒效应方程。

你可能会问的问题包括:

本节课将回答这些问题。有用的工具:单位转换



运动源和静止观测器

考虑多普勒效应时,观测者是静止的,波前源是向它移动x -方向。

源向静止观测者移动

源向静止观测者移动

请注意:根据我们的惯例,源速度是恒定的,并且小于波速x-方向为正,且只沿x-axis被考虑。

寻找观测波长

波速为:

C = λ年代/ T

地点:

T

T = λ年代/ c

如果源以一定速度运动v年代朝向一个静止的观察者,然后是距离源在时间上移动T是:

D = v年代T

在哪里

当源运动时x-方向,当它发射下一个波前时,它正在“追赶”先前发射的波。这表示波长到达观察者λO,是缩写。

请注意:如果源向相反方向移动,λO会被拉长。

观测波长λO然后:

λO年代−d

观测波长作为源速度的函数

观测波长作为源速度的函数

替代T = λ年代/ cD = v年代T

D = v年代λ年代/ c

将此值替换为dλO年代−d

λO年代−v年代λ年代/ c

保理出λ年代给你:

λO年代(1−v)年代/ c)

这个方程也常被写成:

λO年代(c−v)年代) / c

如果源远离观察者,符号v年代的变化。

波长变化

定义波长的变化为:

Δλ = λ年代−λO

λO年代−d

Δλ = λ年代−(λ年代−d)

此外,由于D = v年代λ年代/ c

Δλ = λ年代−(λ年代−v年代λ年代/ c)

Δλ = λ年代v年代/ c

运动观测器和静止源

假设源是静止的,观察者在x-远离源的方向。

观察者远离迎面而来的波浪

观察者远离迎面而来的波浪

寻找观测波长

在这种情况下,观测到的波频率是波速和观测者速度的组合,除以实际波长:

fO= (c−vO) /λ年代

在哪里

但也fO= c /λO

c /λO= (c−vO) /λ年代

方程两边往复:

λO/c = λ年代/(c−vO

λO年代C /(C−v)O

乘以c

λO年代/[(c−vO) / c]

因此:

λO年代C /(C−v)O

λO年代/(1−v .O/ c)

波长变化

波长的变化定义为:

Δλ = λ年代−λO

替代λO年代C /(C−v)O

Δλ = λ年代−λ年代C /(C−v)O

λ年代(c−v)O)/(c−vO

Δλ =[λ年代(c−v)O)−λ年代C]/(C−vO

减少和简化:

Δλ =[λ年代C−λ年代vO−λ年代C]/(C−vO

因此:

Δλ =−λ年代vO/(c−vO

Δλ = λ年代/ (1−c / vO

一般波长方程

当源和观察者都在运动时x-方向,你可以结合各个方程得到一个一般的多普勒效应波长方程。

λO1群为运动源和静止观测者的波长方程:

λO1群年代(c−v)年代) / c

对于源和观测器都在运动的情况,代入λO1群λ年代
λO年代C /(C−v)O

λOO1群C /(C−v)O

λO=(λ年代(c−v)年代/c]c/(c−vO

简化:

λO年代C (C−v)年代)/c(c−vO

因此:

λO年代(c−v)年代)/(c−vO

λO(c−v)O) = λ年代(c−v)年代

波长变化

波长的一般变化是:

Δλ = λ年代−λO

代替λO

Δλ = λ年代−λ年代(c−v)年代)/(c−vO

Δλ = [λ年代(c−v)O)−λ年代(c−v)年代)]/(c−vO

Δλ = (λ年代C−λ年代vO−λ年代C + λ年代v年代)/(c−vO

因此:

Δλ = λ年代(v年代−vO)/(c−vO

总结

多普勒效应方程的推导从波长开始是最直接的。波长或频率随波源和/或观测者速度变化的多普勒效应方程可以通过简单而合理的推导得到。

你可以从一个移动的源和静止的观察者开始,通过考虑波随着源的运动而传播的观察距离。对于一个移动的观测者和静止的源,你考虑频率的速度差波前和移动的观测者,然后转换为波长。结合这两种情况的方程,你可以推导出一般的多普勒效应方程。

一般波长方程

λO年代(c−v)年代)/(c−vO

Δλ = λ年代(v年代−vO)/(c−vO

运动源和静止观测器

λO年代(c−v)年代) / c

Δλ = λ年代v年代/ c

运动观测器和静止源

λO年代C /(C−v)O

Δλ =−λ年代vO/(c−vO


随波逐流


资源及参考资料

罗恩·库图斯的证书

网站

波动资源

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