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多普勒效应速度方程的推导

作者:Ron Kurtus

多普勒效应的一个常见用途是确定波源的速度或观测者的速度。

多普勒效应速度方程的推导从一般波形和频率方程开始。通过将观察者速度设置为零,就可以找到源速度。同样地,将源速度设置为零也会产生观察者速度。

在方程中,假设运动是恒定的,并且在x方向。

(见多普勒效应方程的惯例以获取更多信息。)

你可能会问的问题包括:

本节课将回答这些问题。有用的工具:单位转换



有用的工具:单位转换

运动源和静止观测器

当源运动时x-方向,但观察者是静止的,你可以通过取一般波长和频率方程,设置源的速度vO= 0,然后求解v年代

源向静止观测者移动

源向静止观测者移动

速度除以波长

为了确定速度与波长的关系,你可以从一般的波长方程开始:

λO(c−v)O) = λ年代(c−v)年代

在哪里

(见多普勒效应波长方程的推导以获取更多信息。)

vO= 0,求解v年代

λOC = λ年代(c−v)年代

λOC = λ年代C−λ年代v年代

λv年代年代C−λOc

v年代= c(λ年代−λO) /λ年代

因为波长的变化是Δλ = (λ年代−λO,源速度为:

v年代= cΔλ/λ年代

速度相对于频率

为了确定速度相对于频率的关系,你可以从一般的频率方程开始:

fO= f年代(c−v)O)/(c−v年代

在哪里

(见多普勒效应频率方程的推导以获取更多信息。)

vO= 0,求解v年代

fO= f年代C /(C−v)年代

fO(c−v)年代) = f年代c

fOC−fOv年代= f年代c

−fOv年代= f年代cfOc

fOv年代=−c(f年代fO

因为频率的变化是Δf = (f年代−fO,源速度为:

v年代=−cΔ/ fO

运动观测器和静止源

假设源是静止的,观察者在x-来自源的方向。

观察者远离迎面而来的波浪

观察者远离迎面而来的波浪

速度除以波长

从一般波长方程开始:

λO(c−v)O) = λ年代(c−v)年代

v年代= 0,解出vO

λO(c−v)O) = λ年代c

λOC−λOvO年代c

−λOvO年代C−λOc

方程两边乘以1,提出因式c,然后除以λO

vO=−c(λ年代−λO) /λO

因此:

vO=−cΔλ/λO

速度相对于频率

从一般频率方程开始:,

fO= f年代(c−v)O)/(c−v年代

v年代= 0,解出vO

fO= f年代(c−v)O) / c

fOC = f年代C−f年代vO

添加f年代vO和减fOc从等式两边看:

f年代vO= f年代C−fOc

提出来c然后除以f年代

vO= c (f年代−fO) / f年代

因此:

vO= cΔf / f年代

移动物体的反射

确定物体速度的一种方法是反射物体上的波并测量由运动引起的多普勒频移。在这种情况下,源和观察者的速度都为零:v年代= 0和vO= 0。观测者通常在震源附近。

波向移动物体移动

波向移动物体移动

波从移动物体上反射回来

波从移动物体上反射回来

移动物体“观察”到的波

vR是物体的速度,在x方向。该物体“观测”到的波长和频率为:

λR年代C /(C−v)R

fR= f年代(c−v)R) / c

在哪里

反射到静止观察者的波

物体反射“观察到的”波,就好像物体是一个移动的源。

请注意虽然运动仍然是正向的,但波现在正朝负向运动。因此,的符号c必须改变。

波长方程

运动源和静止观测器的波长方程为:

λO年代(c−v)年代) / c

然而,λR表示反射源波长和vR是作为光源的反射物体的速度。取代λ年代λR而且v年代vR在方程中。的符号也要改变c因为波向相反的方向移动。

因此,反射波长方程为:

λOR(−c−vR) /(−c)

λOR(c + vR) / c

在哪里λO是由静止观测者测量的波长。

使用方程λR年代C /(C−v)R,代替λR然后解出vR

λO=(λ年代C /(C−v)R(c + vR) / c]

λO年代C (C + v)R)/(c−vRc)

λO年代(c + vR) /(c−v)R

λO(c−v)R) = λ年代(c + vR

λOC−λOvR年代C + λ年代vR

减去λOc而且λ年代vR从等式两边可以看出:

−λ年代vR−λOvR年代cλOc

−vR年代O) = c(λ年代λO

两边除为−(λ年代O,导致:

vR=−c(λ年代λO/年代O

Δλ = (λ年代−λO,速度方程为:

vRc =−Δλ/年代O

如果物体朝相反的方向运动,vR变成负数,方程是:

vR= cΔλ/年代O

频率方程

运动源和静止观测器的频率方程为:

fO= f年代C /(C−v)年代

然而fR表示反射源频率和vR是作为光源的反射物体的速度。的符号c的变化。

反射频率方程为:

fO= fR(−c)/(−c−v .R

fO= fRC /(C + vR

使用方程fR= f年代(c−v)R) / c,代替fR然后解出vR

fO= [f年代(c−v)R*[c/(c + vR)]

fO= f年代C (C−v)R)/(c + vRc)

fO= f年代(c−v)R)/(c + vR

fO(c + vR) = f年代(c−v)R

fOC + fOvR= f年代C−f年代vR

f年代vR+ fOvR= f年代c−fOc

vR(f年代+ fO= c (f年代fO

因此:

vR= cΔf /(f年代+ fO

总结

多普勒效应速度方程的推导从一般波形和频率方程开始。通过将观察者速度设置为零,就可以找到源速度。同样地,将源速度设置为零也会产生观察者速度。

把这两个方程结合起来,就得到了运动物体反射速度的方程。

运动源和静止观测器

v年代= cΔλ/λ年代

v年代=−cΔ/ fO

运动观测器和静止源

vOc =−Δλ/λO

vOcΔ/ f年代

移动物体的反射

vRc =−Δλ/年代O

vR= cΔf /(f年代+ fO


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资源及参考资料

罗恩·库图斯的证书

网站

波动资源

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