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牛顿的摇篮如何工作的推导

罗恩·库图斯(2023年1月9日更新)

牛顿的摇篮通常由五个大小和质量相同的金属球组成。它们悬挂在电线上,并排成一行。如果你从一端举起和释放一些球,让它们摆动以撞击其余静止的球,那么另一端将有相同数量的球以相同的初始速度向外移动。由于这些球挂在电线上,它们就像钟摆一样来回摆动。

需要一个解释来验证向外移动的球的数量与最初击中这排球的球的数量相同。最终速度和初速度是一样的。

一种推导假设两个球是相互接触的,利用动量守恒而且能量守恒.另一种解释假设这些球是稍微分开的。第三种更精确的推导解释了球的轻微变形,使它们像线性弹簧一样运动,遵循胡克定律。这是一个更复杂的视图。

你可能会问的问题包括:

本节课将回答这些问题。有用的工具:单位转换



球在接触

如果牛顿摇篮中的两个球完全刚性,并且相互接触或直接接触,则初始球的动量和能量将转移到末端球,导致相同数量的球以初始球的速度向外移动。

这可以通过应用动量守恒定律能量守恒定律

动量守恒

动量守恒定律表示总线性动量(P)为常数。这意味着球在撞击时的动量等于第二组球在撞击后的动量:

P = mv = mv

在哪里

能量守恒

能量守恒定律表示总动能()在没有外力作用的情况下保持恒定。这意味着移动的球或球在撞击时的动能等于球离开这一行球的另一边时的动能。

请注意虽然重力是一种外力,但它只是加速第一组球和在第二组球的摆动中的一个因素。在撞击点和产生的运动中,重力不是一个因素。

KE = mv2/2 = mv2/ 2

移动的球的质量和速度

在动量等式中,解出v方程两边平方:

mv = mv

v = MV/m

v2= M2V2/ m2

代入这个值v2进入能量方程mv2/ 2

mv2/2 = mM2V2/ 2米2= M2V2/ 2米

mv2/2 = mv2/ 2

MV2/2 = m2V2/ 2米

1 = M/ M

因此:

M = M

这意味着离开的球的质量等于进来的质量。由于球的质量相等,这意味着离开级数的球的数量与影响这组球的球的数量相同。

而且,由于M = M,那么:

mv2/2 = mV2/ 2

而且

V = V

末端球的最终速度和初速度相同。

请注意:一些消息来源说,如果两个球在碰撞时相互接触,那么释放几个球可能会导致最后一个球以更大的速度向前移动,而不是以相同的质量以相同的速度移动。然而,这将违反动量和能量守恒定律,如上面的推导所示。

球稍微分开

另一种解释牛顿摇篮工作原理的观点认为,即使两个球看起来是接触的,它们之间也有轻微的分离。假设这五个金属球完全坚硬,碰撞时动能不会损失。每个都是相同的大小和质量。

球的运动是根据一个运动的球和一个静止的球的一系列简单碰撞。

看到简单碰撞的推导获取更多信息。

一个球的顺序

在牛顿摇篮中释放一个球的顺序是这样的:

1.球一个以速度向前移动v

2.球一个罢工球b,使它开始移动v

3.球一个当球静止时b移动轻微的分离来击球c

4.球b当球静止时c移动轻微的分离来击球d

5.球c当球静止时d移动轻微的分离来击球e

6.球d当球静止时e向外移动v

7.球e继续向外移动,直到钟摆反转它的运动

用一个球在牛顿的摇篮里排序

用一个球在牛顿的摇篮里排序

两个球的序列

在牛顿摇篮中释放两个球的顺序变得有点复杂:

1.球一个和球b以速度释放v

2.球b罢工球c变成一个静止的,移动的球c在速度v

3.球c罢工球d变成一个静止的,移动的球d在速度v
另外,球一个罢工球b变成一个静止的,移动的球b在速度v

4.球d罢工球e变成一个静止的,移动的球e在速度v
另外,球b罢工球c变成一个静止的,移动的球c在速度v

5.球c罢工球d变成一个静止的,移动的球d在速度v
另外,球e继续保持速度v

6.球d而且e向外移动v

7.球d而且e继续向外移动v

牛顿摇篮里的两个球的顺序

牛顿摇篮里的两个球的顺序

春天的碰撞

上述推导认为金属球是完全刚性的。然而在现实中,球在碰撞过程中会轻微变形。然后它们弹回原来的形状,把两个球推开。

在这种情况下,球可以被认为是小的线性弹簧,适用于弹簧的胡克定律。这是一种更现实的情况,但是推导过程可能变得复杂,超出了本文的范围。

更简单的推导对于更实际的用途应该是足够的。

总结

解释牛顿摇篮如何工作的推导依赖于各种假设。

一种推导假设两个球是相互接触的,利用动量守恒而且能量守恒.另一种解释假设这些球是稍微分开的。第三种更精确的推导解释了球的轻微变形,使它们像线性弹簧一样运动。这是一个更复杂的视图。


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资源及参考资料

罗恩·库图斯的证书

网站

牛顿的摇篮——作者:洛克黑文大学的Donald Simanek

牛顿的摇篮——维基百科

牛顿的摇篮是如何工作的——HowStuffWorks.com

动量守恒-加拿大温尼伯大学的数学解释

物理资源

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关于钟摆的畅销书

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